Krzysztof Ciesielski i Zdzisław Pogoda Diamenty matematyki

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.w�praktyce jest oczywi�cie inaczej -�nawet idealnie zaostrzony o�ówek, rysuj�cy cieniutk� kresk�, nie da nam idealnej linii.Wystarczy popatrzy� na rysunek przez szk�o powi�kszaj�ce, by stwierdzi�, �e narysowana linia ma jak�� grubo��.Idealnej linii nie zobaczymy nigdy, ale to nie przeszkadza w�rozwa�aniach teoretycznych -�wystarczy pami�ta� o�zerowej grubo�ci.Pos�uguj�c si� definicj� linii krzywej jako �ladu poruszaj�cego si� punktu, mo�emy sobie wyobrazi� przeró�ne kszta�ty, które s� liniami.Wydawa�oby si� jednak, �e -�mimo mo�liwej ró�norodno�ci uzyskiwanych wyników -�pewne ograniczenia s� oczywiste.Na przyk�ad, absurdalnie brzmi hipoteza, �e kwadrat te� mo�na otrzyma� jako �lad poruszaj�cego si� punktu, czyli �e kwadrat jest lini�.Rzecz jasna, nie chodzi tu o�brzeg, lecz o�figur� p�ask�.No w�a�nie.Kwadrat jest figur� p�ask� i�ma dodatnie pole, a�linia nie ma grubo�ci, wi�c co� takiego wydaje si� niemo�liwe.w�praktyce mo�na sobie wyobrazi�, �e ma��c o�ówkiem, zama�emy powierzchni� kwadratu, ale to wynika z�niedoskona�o�ci narz�dzia.Trudno, �eby co�, co nie ma grubo�ci, mog�o mie� pole dodatnie.Tymczasem.Okaza�o si�, �e definicja zgodna z�naturaln� intuicj� mo�e prowadzi� do rezultatów zupe�nie z�t� sam� intuicj� niezgodnych.Otó� w�roku 1890 W�och Giuseppe Peano udowodni�, �e jako ci�g�y obraz odcinka mo�na otrzyma� kwadrat (pe�ny).Mówi�c obrazowo, jest mo�liwe takie narysowanie linii, �e rysuj�c j� idealnie naostrzonym o�ówkiem (niesko�czenie cienk� kresk�) w�sko�czonym czasie, nie odrywaj�c o�ówka od papieru, przeprowadzimy t� lini� przez ka�dy punkt kwadratu.Niewiarygodne, ale prawdziwe.Mo�na si� domy�la�, �e krzywa o�tak oryginalnej w�asno�ci nie mog�a by� dana prostym wzorem.i�rzeczywi�cie, nie jest ona okre�lona tak jak najbardziej znane, typowe funkcje, lecz mozolnie i�starannie konstruowana.Idea konstrukcji Peano nie by�a zbyt trudna, ale wymaga�a dok�adnego sprawdzenia wielu szczegó�ów i�wykorzystania pewnych twierdze�.G�ówna my�l polega�a na tym, �e krzywa jest konstruowana jako graniczny efekt pewnego ci�gu krzywych, odpowiednio j� przybli�aj�cych.Dzielimy kwadrat na dziewi�� mniejszych kwadratów i�prowadzimy krzyw� po ich przek�tnych.Nast�pnie ka�dy kwadrat dzielimy na dziewi�� mniejszych i�w ka�dym z�nich nasz� lini� (poprzednio biegn�c� po przek�tnej) odpowiednio modyfikujemy.i�tak dalej.Taka metoda wymaga jednak ogromnej staranno�ci i�dok�adnego sprawdzenia.Trzeba dobrze zdawa� sobie spraw� z�tego, jakie wnioski wolno wyci�ga� przy przej�ciu granicznym, a�jakich nie.Zbyt pochopne wnioskowanie mo�e prowadzi� do wielu fa�szywych wniosków -�na tym, na przyk�ad, opiera si� jeden ze znanych "dowodów" tego, �e 1 = 2.Trzeba wi�c konstrukcj� przeprowadza� umiej�tnie i�starannie.Dalej, gdy ju� mamy oczekiwany efekt ko�cowy, nale�y upewni� si�, �e krzywa jest taka, jak chcemy -�czyli jest obrazem ci�g�ym przedzia�u -�oraz �e istotnie przechodzi przez ka�dy punkt kwadratu.To wszystko nie jest banalne ani krótkie, ale "do zrobienia".Najtrudniej chyba by�o uwierzy�, �e taka konstrukcja jest mo�liwa.Matematyczna dzia�alno�� Peano (1858-1932) by�a zwi�zana z�Turynem.Na tamtejszym uniwersytecie studiowa� i�pó�niej pracowa� przez ca�e �ycie.Profesorem zosta� w�roku 1890, czyli w�tym samym, w�którym dokona� odkrycia s�ynnej krzywej.Wspomina si� o�nim w�wielu dziedzinach matematyki -�w analizie matematycznej, w�równaniach ró�niczkowych (jedno z�najbardziej podstawowych twierdze� o�istnieniu rozwi�za� równa� nosi jego imi�), w�arytmetyce teoretycznej (mówimy o�aksjomatyce Peano liczb naturalnych).Wynik Peano by� co najmniej zaskakuj�cy.Jednak�e dwana�cie lat wcze�niej matematycy prze�yli wi�kszy wstrz�s.w�roku 1878 Georg Cantor udowodni�, �e istnieje funkcja przeprowadzaj�ca przedzia� w�kwadrat w�ten sposób, �e ka�dy punkt kwadratu jest obrazem pewnego punktu przedzia�u, i�to dok�adnie jednego.Inaczej -�punkty kwadratu i�odcinka mo�emy po��czy� w�pary.Zachwia�o to utartymi pogl�dami i�wr�cz zaszokowa�o wielu uczonych.z�wynikami Cantora zwi�zanymi z�niesko�czono�ci� jeszcze si� tu spotkamy.Funkcja podana przez Cantora nie by�a ci�g�a.Rok pó�niej Niemiec Eugen Netto udowodni�, �e funkcja tego w�a�nie typu, czyli przyporz�dkowuj�ca wzajemnie jednoznacznie punktom odcinka punkty kwadratu, ci�g�a by� nie mo�e.Twierdzenie to jednak nie dotyczy�o funkcji, w�których warto�ci mog� si� powtarza�; wskazywa�o jedynie, �e ��czenie w�pary punktów odcinka i�kwadratu nie mo�e si� odbywa� w�zbyt porz�dny sposób.Wyja�nienia wymaga�o jeszcze pytanie o�ci�g�e -�ale z�mo�liwo�ci� powtórze� -�przekszta�cenie odcinka w�kwadrat.S�dzono raczej, �e i�to oka�e si� niemo�liwe.Peano obali� jednak te przypuszczenia.Wynik Peano da� podstaw� do dalszych bada� w�tym kierunku.Wkrótce podano kolejne konstrukcje krzywych wype�niaj�cych kwadrat.Skonstruowali je mi�dzy innymi: David Hilbert (1891), Eliakim Hastings Moore (1900), Henri Lebesgue (1904), Wac�aw Sierpi�ski (1912) i�George Pólya (1913) [ Pobierz całość w formacie PDF ]

�

pobieranie @ do ÂściÂągnięcia @ pdf @ download @ ebook

Podobne